ተመጣጣኝ vs ዲፈረንሻል
በዲፈረንሺያል ካልኩለስ ውስጥ የአንድ ተግባር ተዋጽኦ እና ልዩነት በቅርበት የተሳሰሩ ናቸው ነገር ግን በጣም የተለያዩ ትርጉሞች አሏቸው እና ከተለያየ ተግባራት ጋር የተያያዙ ሁለት አስፈላጊ የሂሳብ ቁሶችን ለመወከል ይጠቅማሉ።
መነጩ ምንድን ነው?
የአንድ ተግባር መነሻ የተግባር እሴቱ ግቤት ሲቀየር የሚቀየርበትን ፍጥነት ይለካል። በብዝሃ-ተለዋዋጭ ተግባራት ውስጥ, የተግባር እሴቱ ለውጥ በገለልተኛ ተለዋዋጮች እሴቶች ለውጥ አቅጣጫ ይወሰናል. ስለዚህ በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ አንድ የተወሰነ አቅጣጫ ይመረጣል እና ተግባሩ በተለየ አቅጣጫ ይለያል.ያ ተዋጽኦ የአቅጣጫ ተዋጽኦ ይባላል። ከፊል ተዋጽኦዎች ልዩ የአቅጣጫ ተዋጽኦዎች ናቸው።
የቬክተር ዋጋ ያለው ተግባር f እንደ ገደብ [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac ሊገለጽ ይችላል። {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})) -f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] ያለማቋረጥ ባለበት። ቀደም ሲል እንደተጠቀሰው, ይህ በቬክተር u አቅጣጫ በኩል የተግባር መጨመርን ፍጥነት ይሰጠናል. በነጠላ ዋጋ ያለው ተግባር፣ ይህ ወደሚታወቀው የመነጩ ፍቺ ይቀንሳል፣ [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
ለምሳሌ [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] በየቦታው ሊለያዩ የሚችሉ ናቸው፣ እና ተዋጽኦው ከገደቡ ጋር እኩል ነው፣ [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex]፣ እሱም ከ[latex]3x^{2}+4[/latex] ጋር እኩል ነው። እንደ [latex]e^{x}፣ \\ sin x፣ \\ cos x[/latex] ያሉ የተግባር ተውሳኮች በሁሉም ቦታ አሉ። እንደቅደም ተከተላቸው [latex]e^{x}፣ \\cos x፣ – \\ sin x[/latex] ከሚሉት ተግባራት ጋር እኩል ናቸው።
ይህ የመጀመሪያው ተዋጽኦ በመባል ይታወቃል። ብዙውን ጊዜ የተግባር f የመጀመሪያው ተዋጽኦ በf (1) ይገለጻል አሁን ይህን አጻጻፍ በመጠቀም ከፍተኛ ቅደም ተከተሎችን መለየት ይቻላል። [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] ሁለተኛው ቅደም ተከተል አቅጣጫዊ ተዋጽኦ ነው፣ እና የ n th ውጪ በf (n) የሚያመለክት ነው። ለእያንዳንዱ n፣ [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n) -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex]፣ n th ተዋጽኦን ይገልጻል።
ልዩነቱ ምንድን ነው?
የተግባር ልዩነት በገለልተኛ ተለዋዋጭ ወይም ተለዋዋጮች ላይ የተደረጉ ለውጦችን በተመለከተ የተግባር ለውጥን ይወክላል። በተለመደው አነጋገር፣ ለተሰጠው ተግባር f የአንድ ነጠላ ተለዋዋጭ x፣ አጠቃላይ የትዕዛዝ 1 ዲኤፍ ልዩነት በ [latex]df=f^{1}(x)dx [/latex] ተሰጥቷል። ይህ ማለት ወሰን ለሌለው በ x (ማለትም d x) ለውጥ f (1)(x)d x ለውጥ በf ይኖራል።
ገደቦችን በመጠቀም አንድ ሰው በዚህ ትርጉም እንደሚከተለው ሊጠናቀቅ ይችላል። አስቡት ∆ x የ x ለውጥ በዘፈቀደ ነጥብ x እና ∆ f የተግባር ለውጥ ነው ረ. ϵ ስህተቱ ባለበት ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ መሆኑን ማሳየት ይቻላል። አሁን ገደቡ ∆ x→ 0∆ ረ / ∆ x =f (1)(x) (ቀደም ሲል የተገለፀውን የመነሻ ፍቺ በመጠቀም) እና በዚህም ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. ስለዚህ፣ ማድረግ ይቻላል። መደምደም፣ ∆ x→ 0 ϵ=0. አሁን ∆ x→ 0 ∆ f እንደ d f እና ∆ x→ 0 ∆ x እንደ d x የልዩነቱ ፍቺ በጥብቅ ተገኝቷል።
ለምሳሌ የተግባሩ ልዩነት [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] [latex](3x^{2}+4)dx[/latex።
በሁለት ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች በሚሰሩበት ጊዜ የአንድ ተግባር አጠቃላይ ልዩነት በእያንዳንዱ ገለልተኛ ተለዋዋጮች አቅጣጫ የልዩነት ድምር ተብሎ ይገለጻል። በሂሳብ ደረጃ [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\ከፊል f}{\ከፊል x_{i}}dx_{i}[/latex] ተብሎ ሊገለጽ ይችላል።.
በመነሻ እና ልዩነት መካከል ያለው ልዩነት ምንድን ነው?
• ተዋጽኦ የአንድ ተግባር ለውጥ መጠንን ሲያመለክት ልዩነቱ ደግሞ የተግባርን ትክክለኛ ለውጥ የሚያመለክት ሲሆን ገለልተኛው ተለዋዋጭ ሊለወጥ በሚችልበት ጊዜ።
• ተዋጽኦው የሚሰጠው በ[latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex]፣ ነገር ግን ልዩነቱ የሚሰጠው በ[latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] ነው።
