በመስመር እና በመስመር ላይ ባልሆኑ ልዩ ልዩ እኩልታዎች መካከል ያለው ልዩነት

2024 ደራሲ ደራሲ: Alex Aldridge | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-17 13:31

መስመር vs የመስመር ላይ ልዩነት እኩልታዎች

ቢያንስ አንድ ዲፈረንሻል ኮፊሸን ወይም ያልታወቀ ተለዋዋጭ ተዋጽኦን የያዘ እኩልታ ልዩነት በመባል ይታወቃል። ልዩነት እኩልታ መስመራዊ ወይም ቀጥተኛ ያልሆነ ሊሆን ይችላል። የዚህ መጣጥፍ ወሰን መስመራዊ ዲፈረንሺያል ኢኩዌሽን ምን እንደሆነ፣ ቀጥታ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ ምን እንደሆነ እና በመስመራዊ እና መስመር ያልሆኑ ልዩነቶች እኩልታዎች መካከል ያለው ልዩነት ምን እንደሆነ ለማብራራት ነው።

የካልኩለስ እድገት በ18ኛው ክፍለ ዘመን እንደ ኒውተን እና ሌብኒትዝ ባሉ የሂሳብ ሊቃውንት ፣ልዩነት እኩልነት በሂሳብ ታሪክ ውስጥ ትልቅ ሚና ተጫውቷል።የልዩነት እኩልታዎች በሂሳብ ውስጥ ትልቅ ጠቀሜታ አላቸው ምክንያቱም በመተግበሪያቸው ክልል። በፊዚክስ፣ በምህንድስና፣ በኬሚስትሪ፣ በስታቲስቲክስ፣ በፋይናንሺያል ትንተና ወይም በባዮሎጂ (ዝርዝሩ ማለቂያ የለውም) በዓለም ላይ ያለውን ማንኛውንም ሁኔታ ወይም ክስተት ለማብራራት በምናዘጋጀው እያንዳንዱ ሞዴል ውስጥ ልዩነት ያላቸው እኩልታዎች ናቸው። በእርግጥ፣ ካልኩለስ የተቋቋመ ንድፈ ሐሳብ እስኪሆን ድረስ፣ በተፈጥሮ ውስጥ ያሉትን አስደሳች ችግሮችን ለመተንተን ትክክለኛ የሂሳብ መሣሪያዎች አልተገኙም።

ከተወሰነ የካልኩለስ አተገባበር የሚመጡ እኩልታዎች በጣም የተወሳሰቡ እና አንዳንዴም ሊፈቱ የማይችሉ ሊሆኑ ይችላሉ። ሆኖም እኛ ልንፈታቸው የምንችላቸው አሉ ነገር ግን ተመሳሳይ እና ግራ የሚያጋቡ ሊመስሉ ይችላሉ። ስለዚህ፣ በቀላሉ ለመለየት የልዩነት እኩልታዎች በሂሳባዊ ባህሪያቸው ተከፋፍለዋል። መስመራዊ እና ቀጥተኛ ያልሆነ አንዱ እንደዚህ ዓይነት ምድብ ነው። በመስመራዊ እና ባልሆኑ ልዩ ልዩ እኩልታዎች መካከል ያለውን ልዩነት መለየት አስፈላጊ ነው።

ሊኒያር ልዩነት እኩልታ ምንድን ነው?

እንበል f: X→Y እና f(x)=y፣ ልዩ ያልሆነ እኩልታ ከመደበኛ ያልሆነ የውል ቃል ያልታወቀ ተግባር y እና ተዋጽኦዎቹ እንደ መስመራዊ ልዩነት እኩልታ ይታወቃሉ።

እንደ y²፣ y^{3፣ … እና እንደ y2፣… እና እንደ ብዙ አይነት ተዋጽኦዎች ያሉ ከፍ ያለ መረጃ ጠቋሚ ቃላቶች ሊኖሩዎት አይችሉም። እንደ}

እንዲሁም እንደ Sin y፣ e ^{y ^-2፣ ወይም ln y ያሉ ቀጥተኛ ያልሆኑ ቃላትን ሊይዝ አይችልም። ቅጹን ይወስዳል፣}

y እና g የ x ተግባራት ሲሆኑ። እኩልታው የትዕዛዝ n ልዩነት ነው፣ እሱም የከፍተኛው ስርአት ተዋጽኦ ጠቋሚ ነው።

በሊኒያር ልዩነት እኩልታ፣ ልዩነት ኦፕሬተር መስመራዊ ኦፕሬተር ሲሆን መፍትሄዎቹ የቬክተር ቦታን ይመሰርታሉ። በመፍትሔው ስብስብ መስመራዊ ተፈጥሮ ምክንያት የመፍትሄዎቹ ቀጥተኛ ቅንጅት እንዲሁ ለየልዩነት እኩልነት መፍትሄ ነው። ማለትም y₁ እና y₂ የልዩነት እኩልታ መፍትሄዎች ከሆኑ፣ሲ₁ y ₁+ C₂ y_{2 ደግሞ መፍትሄ ነው።}

የቀመርው መስመር የምደባው አንድ ግቤት ብቻ ነው፣ እና በተጨማሪ ወደ ተመሳሳይ ወይም ተመሳሳይ ያልሆኑ እና ተራ ወይም ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ሊመደብ ይችላል።ተግባሩ g=0 ከሆነ፣ እኩልታው መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ ነው። f የሁለት ወይም ከዚያ በላይ ገለልተኛ ተለዋዋጮች (f: X, T→Y) እና f(x, t)=y ተግባር ከሆነ፣ እኩልታው ቀጥተኛ ከፊል ልዩነት እኩልታ ነው።

የልዩነት እኩልታ የመፍትሄ ዘዴ በአይነቱ እና በዲፈረንሻል እኩልታ ላይ የተመሰረተ ነው። በጣም ቀላሉ ጉዳይ የሚመነጨው ውህደቶቹ ቋሚ ሲሆኑ ነው። ለዚህ ጉዳይ የሚታወቀው ምሳሌ የኒውተን ሁለተኛ የእንቅስቃሴ ህግ እና የተለያዩ አፕሊኬሽኖቹ ነው። የኒውተን ሁለተኛ ህግ ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር ሁለተኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታ ይፈጥራል።

የመስመር ያልሆነ ልዩነት ቀመር ምንድነው?

የመስመር ያልሆኑ ቃላትን የያዙ እኩልታዎች ቀጥተኛ ያልሆኑ ልዩ ልዩ እኩልታዎች በመባል ይታወቃሉ።

ከላይ ያሉት ሁሉም የመስመር ላይ ያልሆኑ የልዩነት እኩልታዎች ናቸው። ያልተስተካከሉ የልዩነት እኩልታዎች ለመፍታት አስቸጋሪ ናቸው, ስለዚህ, ትክክለኛ መፍትሄ ለማግኘት የቅርብ ጥናት ያስፈልጋል. ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ከሆነ፣ አብዛኛዎቹ እኩልታዎች አጠቃላይ መፍትሄ የላቸውም። ስለዚህ፣ እያንዳንዱ እኩልታ ለብቻው መታከም አለበት።

የናቪየር-ስቶክስ እኩልታ እና የኡለር እኩልታ በፈሳሽ ተለዋዋጭነት፣ የአይንስታይን የመስክ እኩልታዎች የአጠቃላይ አንፃራዊነት መስመር ላይ ያልሆኑ ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ናቸው። አንዳንድ ጊዜ የላግራንጅ እኩልታ ለተለዋዋጭ ስርዓት መተግበሩ መስመር ላይ ያልሆኑ ከፊል ልዩነት እኩልታዎች ስርዓትን ሊያስከትል ይችላል።

በሊኒያር እና መስመር አልባ ልዩነት እኩልታዎች መካከል ያለው ልዩነት ምንድን ነው?

• የማይታወቅ ወይም ጥገኛ ተለዋዋጭ ቀጥተኛ ቃላቶች ብቻ ያሉት ዲፈረንሻል እኩልታ (Linear differential equation) በመባል ይታወቃል። ከ1 በላይ ካለው ጥገኛ ተለዋዋጭ ጋር ምንም ቃል የለውም እና ምንም አይነት ተዋጽኦዎችን አልያዘም። እንደ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት፣ ገላጭ ተግባር እና ሎጋሪዝም ተግባራት ከጥገኛ ተለዋዋጭ አንፃር ያሉ መደበኛ ያልሆኑ ተግባራት ሊኖሩት አይችልም። ከላይ የተጠቀሱትን ቃላት የያዘ ማንኛውም ልዩነት እኩልታ መስመር ያልሆነ ልዩነት እኩልታ ነው።

• የመስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች መፍትሄዎች የቬክተር ቦታን ይፈጥራሉ እና ዲፈረንሻል ኦፕሬተር ደግሞ በቬክተር ቦታ ላይ ቀጥተኛ ኦፕሬተር ነው።

• የመስመራዊ ልዩነት እኩልታዎች መፍትሄዎች በአንጻራዊነት ቀላል እና አጠቃላይ መፍትሄዎች አሉ። ላልሆኑ እኩልታዎች፣ በአብዛኛዎቹ ጉዳዮች፣ አጠቃላይ መፍትሄው የለም እና መፍትሄው ችግርን የሚለይ ሊሆን ይችላል። ይህ ከመስመር እኩልታዎች ይልቅ መፍትሄውን በጣም አስቸጋሪ ያደርገዋል.