Laplace vs Fourier Transforms
ሁለቱም የላፕላስ ትራንስፎርሜሽን እና ፎሪየር ትራንስፎርሜሽን ዋና ትራንስፎርሞች ናቸው፣ እነሱም በአብዛኛው በሂሳብ የተቀረጹ አካላዊ ስርዓቶችን ለመፍታት እንደ የሂሳብ ዘዴዎች ያገለግላሉ። ሂደቱ ቀላል ነው. ውስብስብ የሆነ የሂሳብ ሞዴል የተቀናጀ ለውጥን በመጠቀም ወደ ቀላል እና ሊፈታ የሚችል ሞዴል ይቀየራል። ቀለል ያለው ሞዴል ከተፈታ በኋላ የተገላቢጦሹ ኢንተግራል ለውጥ ይተገበራል፣ ይህም ለዋናው ሞዴል መፍትሄ ይሰጣል።
ለምሳሌ፣ አብዛኛው የፊዚካል ሲስተሞች ልዩነትን ስለሚያስከትሉ ወደ አልጀብራ እኩልታዎች ሊለወጡ ወይም ውህደታዊ ለውጥን በመጠቀም ወደ ዝቅተኛ ዲግሪ በቀላሉ ሊፈቱ የሚችሉ ልዩነቶች ሊለወጡ ይችላሉ። ከዚያ ችግሩን መፍታት ቀላል ይሆናል።
የላፕላስ ለውጥ ምንድነው?
የትክክለኛ ተለዋዋጭ t ተግባር f (t) ከተሰጠው፣ የላፕላስ ትራንስፎርሙ በተዋሃዱ [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\ infty} e^{- ይገለጻል። st}f (t) dt [/latex] (በሚኖርበት ጊዜ)፣ ይህም ውስብስብ ተለዋዋጭ s ተግባር ነው። እሱ ብዙውን ጊዜ በL {f (t)} ይገለጻል። የአንድ ተግባር F (ዎች) ተገላቢጦሽ የላፕላስ ትራንስፎርመር ተግባር f (t) እንዲሆን ተደርጎ ይወሰዳል L {f (t)}=F (s) እና በተለመደው የሂሳብ አጻጻፍ ውስጥ, Lእንጽፋለን. -1{ F (ዎች)}=f (t)። ባዶ ተግባራት ካልተፈቀዱ የተገላቢጦሹ ለውጥ ልዩ ሊሆን ይችላል። አንድ ሰው እነዚህን ሁለቱን በተግባሩ ቦታ ላይ እንደተገለጸው መስመራዊ ኦፕሬተሮች መለየት ይችላል፣ እና ያንን ለማየት ቀላል ነው፣ L -1{ L { f (t)}}=f (t) ባዶ ተግባራት ካልተፈቀዱ።
የሚከተለው ሠንጠረዥ የአንዳንድ በጣም የተለመዱ ተግባራትን የላፕላስ ለውጦች ይዘረዝራል።
የአራተኛው ለውጥ ምንድነው?
ከትክክለኛ ተለዋዋጭ t ተግባር f (t) ከተሰጠው፣ የላፕላስ ትራንስፎርሙ በተዋሃደ [ላቴክስ] F(\ alpha)=\\ frac{1}{\sqrt{2 \\ ይገለጻል። pi}} \int_{- \\ infty}^{\ infty} e^{i \\ alpha t}f(t)dt [/latex] (በሚኖርበት ጊዜ) እና ብዙውን ጊዜ በF {f ይገለጻል (ቲ)} የተገላቢጦሹ ለውጥ F -1{ F (α)} የሚሰጠው በተዋሕዶ [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\ infty}^{\ infty} e^{-i \\ alpha t}F(\ alpha)d \\ alpha [/latex]። ፎሪየር ትራንስፎርም መስመራዊ ነው፣ እና እንደ ኦፕሬተር በተግባሩ ቦታ ላይ ይገለጻል።
የፎሪየር ትራንስፎርሙን በመጠቀም ዋናው ተግባር በሚከተለው መልኩ ሊፃፍ የሚችለው ተግባሩ የተወሰነ የማቋረጥ ብዛት ብቻ እስካለው እና ሙሉ በሙሉ ሊዋሃድ የሚችል እስከሆነ ድረስ።
በላፕላስ እና በፎሪየር ትራንስፎርሞች መካከል ያለው ልዩነት ምንድን ነው?
- የአንድ ተግባር አራተኛ ለውጥ f (t) እንደ [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- \infty}^{\ infty} e^{i \\ alpha t}f(t)dt [/latex]፣ የላፕላስ ለውጥ ግን [latex] F(s)=\\int_{ ተብሎ ይገለጻል። 0}^{ \\ infty} e^{-st}f(t)dt [/latex]።
- አራቱ ትራንስፎርሜሽን የሚገለጸው ለሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ለተገለጹ ተግባራት ብቻ ነው፣ የላፕላስ ትራንስፎርሜሽን ግን ተግባሩ በአሉታዊ እውነተኛ ቁጥሮች ላይ እንዲገለጽ አይፈልግም።
- Fourier transformation የላፕላስ ትራንስፎርሜሽን ልዩ ጉዳይ ነው። ሁለቱም አሉታዊ ላልሆኑ እውነተኛ ቁጥሮች የሚገጣጠሙ መሆናቸውን ማየት ይቻላል። (ማለትም በላፕላስ ውስጥ iα + β ን መውሰድ α እና β እውነተኛ የሆኑበት ኢ β=1/ √(2ᴫ))
- እያንዳንዱ ፎሪየር ትራንስፎርሜሽን ያለው ተግባር የላፕላስ ለውጥ ይኖረዋል ግን በተቃራኒው አይሆንም።
